সহজেই Discrete Mathematics [ Part 2 ]

আজকে আরোও কিছু অপারেশন নিয়ে আলোচনা করা হচ্ছে ।
OR বা Disjunction অপারেশন। এটা একটি Binary Operation মানে এটাতে দুটি Proposition বা Value থাকতেই হবে ।
এটাতে এভাবে লেখা হয় ।
P or Q বা P V Q
যেমন :

P= আজকে শুক্রবার
V = অথবা ।
Q = বাহিরে বৃষ্টি পড়ছে ।

তাহলে,পুরো proposition লেখা হলে এমন হয় ।
P V Q = আজকে শুক্রবার অথবা বাহিরে বৃষ্টি পড়ছে ।
Truth Table এ দেখা যাক ।

তাহলে বিষয়টা এমন দাঁড়ালো যে যে কন একটা সত্য হলে ই proposition টি সত্য। কারন এটাতে অথবা বলে দেওয়া হয়েছে । OR অপারেশন এ যে কোন একটা সত্য হলেই proposition সত্য ।
এবার,
AND বা Conjunction অপারেশন। এটাও একটি Binary Operation মানে এটাতে দুটি proposition বা Value থাকতেই হবে ।
এটাতে এভাবে লেখা হয় ।
P and Q বা P ˄ Q
যেমন : P= আজকে শুক্রবার
Q = বাহিরে বৃষ্টি পড়ছে ।
V = এবং ।
তাহলে,পুরো proposition লেখা হলে এমন হয় ।
P ˄ Q = আজকে শুক্রবার এবং বাহিরে বৃষ্টি পড়ছে ।
Truth Table এ দেখা যাক ।

তাহলে বিষয়টা এমন দাঁড়ালো যে যে কোন একটা সত্য হলেই যে proposition টি সত্য হবে এমন না । কারন এটাতে এবং বলে দেওয়া হয়েছে । And অপারেশন এ যে কোন একটা সত্য হলেই হবে না, সকল Condition সত্য হলেই পুরো proposition টি সত্য হবে।
এগুলো ছিল একেবারে মৌলিক অপারেশন । এবার এগুলোকে একত্রিত করে বানানো আরোও কিছু অপারেশন দেখা যাক।
Exclusive OR / XOR P ⊕ Q
মনে করি বাসায় মাছ এবং মাংস দুইটায় রান্না করা হয়েছে, এখন বলা হয়েছে তুমি যে কোন একটা খাইতে পারবা । সহজেই বোঝা যাচ্ছে যে কোন একটা Condition সত্য হলেই operation সত্য কিন্তু দুইটা একসাথে করা সম্ভব না তাই Result মিথ্য হবে ।
Truth Table টা দেখা যাক ।

Implications
এবার আসা যাক Conditional P→Q এটা পড়া হয় P implies Q বা
If P then Q
এখানে P হলো Premise বা hypothesis এবং

Q=Conclusion
এটা বুঝার আগেই Truth Table টা দেখা যাক ।
Premise : সব কাজ করলে টাকা পাবা ।
Conclusion : আমি টাকা দিব ।

বিষয়টা কি বুঝা যাচ্ছে । একটু খটকা লাগতে পারে ।
১.নং এ আসি সে কাজ করে নাই আমি টাকাও দেই নাই । হুম ঠিকই আছে আমি আমার কথা রাখছি । কাজ না করলে টাকা পাবে না সেটাই হয়েছে । সত্য ।
২. নং এ সে কাজ করছে কিন্তু আমি টাকা দেই নাই তার মানে আমি আমার কথা রাখি নাই । আমি মিথ্য প্রমাণিত হলাম।
৩.সে কাজ করে না কিন্তু আমি টাকা দিয়েছি । আমি আমার কথা রাখছি তাই এটাও সত্য ।(কাজ না করলে টাকা পাবা না এটা কখনো বলছি ???)
৪.সে কাজ করছে, আমি টাকাও দিলাম । সবই সত্য ।
এবার Biconditional : P ↔ Q
এটাকে এভাবে ব্যাখ্যা করা যায় :
P ↔ Q = (P→Q) V (Q→P) এখানে দুটো Condition কে and অপারেশন করা হয়েছে ।
মানে P and q Biconditional যখন P সত্য তখন Q ও সত্য আর Q সত্য মানে P অবশ্যই সত্য।

Precedence of Logical Operators:

কোন অপারেশণ আগে হবে মানে কার শক্তি কত তা ক্রোম আকারে দেখানো হয়েছে ।

Logic and Bit Operations:

ভ্যালু গুলোকে বিট আকারে নিয়ে আসা হয়েছে ।

এবার যদি বিট অপারেশণ চালাই তাহলে যেমন হয় :